幾何大王からの挑戦状#17

今まで、毎月締切直前に「今月の問題」をここで紹介して呼び込みを行っていましたが、投稿のリピーターの方も増えてきて、過去問ページもできたので、ここでの呼び込みの役割は終わったかなと思い、今回で一旦終了します。またニーズがあるようであれば、読者の方との接点を何らかの形で(facebookページとか?)設けるかもしれません。

もちろん、雑誌「理系への数学」での連載自体は続くので、これからも「幾何大王からの挑戦状」をよろしくお願いします。

今日締切の9月号の問題はこれでした。

Angle17_q 「△ABCの内部に点Dがあり, ∠ABD=17°, ∠BCD=13°, ∠BDA=∠CDB=137° のとき, ∠CADを求め,その角度となることを初等幾何で証明してください。」


17回目なので、17°を使ったシンプルな問題です。

なお、#16の解答(9月号で紹介したもの+読者解答より別解5件)と、もう1つの連載「数学パズルにトドメをさす!?」の10月号のFlashコンテンツは、明日(9/12)それぞれのページで公開する予定です。

幾何大王からの挑戦状 過去問&解答集
数学パズルにトドメをさす?! 今月のFlash

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幾何大王からの挑戦状#16

今回の問題では、いつもは隠れている正三角形が最初から出現している…ように見えますが…

Angle16_q 「正三角形ABCの内部に点Dがあり,∠DBC=12°,∠DCA=18°のとき,∠DABを求め,その角度となることを初等幾何で証明してください。」


実は見た目よりずっと難しいです。某書籍の用語で言うと、自由度0の整角三角形なので、本の中の方法で証明を探すにも何段階かステップを踏まなくてはなりませんが、もう1つどこかに正三角形を構築できればもしかしたら本を使わなくても道筋が発見できるかも。
解答の送付先は、理系への数学8月号でご確認下さい。締切は8/11(木)です。

なお、「幾何大王からの挑戦状」の過去問集のページが、先月から公開されています(→こちら)。現在#14までの問題と解答が掲載されており、もうすぐ#15も公開されるのでお楽しみに。

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幾何大王からの挑戦状#15

今回は、前回と打って変わって難問です。二等辺三角形の見た目にダマされずに、下の四角形の部分だけで考えましょう。煩わしい角度を使わないために、30°/7を1とする単位に読み替えて試行錯誤するのはよいと思いますが、Aを中心とする正42角形とかを作っても多分何の役にも立たないでしょう。

Angle15_q 「∠CAB=60°/7の△ABCにおいて,AB上に点D,AC上に点Eがあり, ∠ABE=30°, ∠BED=240°/7, ∠EDC=480°/7のとき, AB=ACであることを初等幾何で証明してください。」


いろんなアプローチがあると思いますが、入り口の一つとして久々に大ヒントを。30°を円周角とみなすと、中心角は60°になるので、正三角形が出来ますね。
解答締切は7/11(月)、送付先は「理系への数学」7月号でご確認を。

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幾何大王からの挑戦状#14

読者解答は本日締切です。今回は少し簡単過ぎたかもしれません...。

Angle14_q 「AB=ACの二等辺三角形ABCにおいて,AB上に点D,AC上に点Eがあり,BC=DC,AD=CE,∠CDB=∠CDEのとき,∠CABを求め,その角度となることを初等幾何で証明してください。」


解答締切は本日6/10(金)、送付先は「理系への数学」6月号でご確認下さい。
なお、明日発売の7月号では、「数学パズルにトドメをさす?!」は休載させていただきますが、コラム「幾何大王からの挑戦状」は通常通り掲載していますので、#15もお楽しみに。

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幾何大王からの挑戦状#13

今回も締切当日ですみません。

Angle13_q 「∠CAB=40°,AB=ACの二等辺三角形ABCにおいて,AB上に点D,AC上に点Eがあり,BC=DC,AD=CEのとき,∠EDCを求め,その角度となることを初等幾何で証明してください。」


頂角を隠して答えとなる角度を与えると、最近Yahoo知恵袋などで話題になった一部で有名な難問となります。今回の問題が証明できたなら、その難問の少なくとも1つの解が頂角=40°であることは証明できたことになりますね。
解答締切は本日5/11(水)、送付先は「理系への数学」5月号にてご確認を。

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幾何大王からの挑戦状#12

個人的な引っ越しなどがあり、恒例の今月の問題のご紹介が締切当日になってしまいました。
Angle12_q 「∠CAB=45°,AB=ACの二等辺三角形ABCにおいて,AB上に点D,AC上に点Eがあり,∠EBC=45°,∠DCA=30°のとき,∠BEDを求め,その角度となることを初等幾何で証明してください。」
解答締切は今日4/11(月)、送付先は「理系への数学」4月号でご確認下さい。メールやFAXならまだ間に合いますので挑戦してみて下さい。

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幾何大王からの挑戦状#11

前回(#10)は、多数の解答をお寄せ頂きありがとうございました。別解も豊作で、4月号には皆さんから頂いた別解の概略を一挙掲載していますので、お楽しみに。(筆者が用意した証明方法と同じものは1つもありませんでした(笑))
3月号の問題は、前回より少し難しくなっていますが、既に何通か解答を頂いており、こちらの用意したのと同じ方法を発見された方もおられるので、ヒントは出しません。
Angle11_q 「∠CAB=36°,AB=ACの二等辺三角形ABCにおいて,CからABに降ろした垂線の足をDとし,線分CD上に∠DBE=24°となる点Eをとるとき,∠CAEを求め,その角度となることを初等幾何で証明してください。」
解答締切は明日3/11(金)、送付先は「理系への数学」3月号でご確認下さい。締切直前ですが、まだ間に合うので是非トライを。

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3月号Flash公開

Ss1 雑誌「理系への数学」で「数学パズルにトドメをさす!?」という連載を始めてもうすぐ1年ですが、なんとか初志貫徹で毎号関連するFlashコンテンツの公開も続けています。→Flashページはこちら。


Ss2 3月号のFlashも昨日公開しました。今回は、自己相似曲線を用いた図形の相似分割の話の1回目で、正方形や正三角形の奇妙な相似2分割の例をFlashで観察できます。(もっと複雑なものは次号で公開します。)記事本編の方もよろしく。


初等幾何のコラム「幾何大王からの挑戦状」の第10回(2月号分)は、多数の解答のご送付頂き、ありがとうございました。正解者の発表は来月発売の4月号となります。今回は多くの別解を頂いたので、4月号ではそれら別解も紹介したいと思います。

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幾何大王からの挑戦状#10

2月号(1/12発売)の問題は、前回までの反省も踏まえて(苦笑)シンプルなお年玉問題とさせて頂きました。ただ、答えとなる角度の関係は簡単に予想できても、それをどうすれば筋道立てて証明できるかというところで、様々な工夫のバリエーションがあるはずです。まだ締切前なので、皆さんなりの解答を編集部宛送付いただけると幸いです。

Angle10_q 「AB=ACの直角二等辺三角形ABCの内部に点Dがあり,∠DBC=∠DCA=30°のとき,∠ADCを求め,その角度となることを初等幾何で証明してください。」


解答締切は2/10(木)、送付先は「理系への数学」2月号でご確認下さい。

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幾何大王からの挑戦状#9

2011年1月号の問題は前2回から続く3部作の完結編です。
なお、図には書いてあったのですが、問題文に「∠BFD=31°, ∠FDC=29°」の条件が抜けていました。大変申し訳ありません。正しくは以下の問題文となります。

Angle09_q 「凸四角形ABCDの頂点Bは△AECの内側にあり,頂点Cは△BFDの内側にある。 ∠ABD=59°, ∠DBC=∠BCA=30°, ∠ACD=62°, ∠BAE=∠AEC=30°, ∠BFD=31°, ∠FDC=29°,直線ABと直線DCの交点をP,直線DAと直線CBの交点をQ,直線DBと直線CEの交点をRとして,∠ARF, ∠RQP, ∠QPRを求め,それらがその角度となることを初等幾何で証明してください。
 なお,前回までの証明の中で得られた以下の事実は証明なしで用いてよいものとします。
3点QEFは同一直線上にあり, ∠EPA=∠APD=∠DPF=1°, ∠DQC=1°, ∠CQF=2°, ∠BDA=29°」


今回は、前回までに明らかになった事実から、図中に同じ角度の組がたくさん出現するので、それらを利用して、共円となる(=同一円周上にある)4点の組をひたすら探して、角度の関係を整理していくだけです。図が複雑なので、少々根気が必要ですが…。
締切は1/11(火)です。解答の送付先は「理系への数学」2011年1月号でご確認下さい。

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